... 분 소요
14번 · 종이접기와 삼각비 (객관식, 4점)
이매동 수학학원 이매중 3학년 수학 내신분석 14번 — 정답은 ⑤, 접은 도형에 이등변삼각형이 숨어 있습니다
이매중학교 3학년 수학내신 · 직사각형을 접었을 때 tan x의 값 (접기 · 이등변삼각형 · 삼각비 · 분모의 유리화)
📖 그림 대조 결과 — 접힌 각 ∠AEF = ∠FEG = x이고, 엇각으로 ∠EFG = x이므로 GF = GE = 4입니다. BG = 4 + √7에서 BF = √7, FP = 4 − √7이 되어 tan x = 3/(4 − √7) = (4 + √7)/3입니다. 정답은 ⑤입니다.
정답과 근거 — 이렇게 풀면 됩니다
STEP 1먼저 접기의 성질부터 정리
AB = 3cmAE = 4cm점 A → 점 G로 접음접힌 변의 길이 같음 (EG = EA)접힌 각 같음 (∠AEF = ∠FEG)
→ 접기 문제는 "접힌 부분은 합동"이라는 성질로 같은 길이와 같은 각을 먼저 표시하는 것이 출발점입니다.STEP 2수선을 그어 BG 구하기BG = 4 + √7
점 E에서 BC에 수선 EP를 내리면 EP = AB = 3, BP = AE = 4입니다. 접힌 길이는 같으므로 EG = AE = 4이고, 직각삼각형 EPG에서 PG = √(4² − 3²) = √7입니다. 따라서 BG = BP + PG = 4 + √7입니다.
→ 접기 문제는 "접힌 변의 길이는 같다"가 첫 단서입니다. 그다음 수선을 그어 직각삼각형을 만드세요.STEP 3숨은 이등변삼각형 찾기△GEF에서 GF = GE = 4
접힌 각은 같으므로 ∠AEF = ∠FEG = x입니다. AD // BC이므로 엇각으로 ∠AEF = ∠EFG = x입니다. 따라서 △GEF는 ∠GEF = ∠GFE인 이등변삼각형이고 GF = GE = 4입니다.
→ 이 문제의 핵심입니다. 접은 각 + 엇각이 겹치면 이등변삼각형이 나옵니다.STEP 4정답⑤ (4 + √7)/3
📖 그림 근거
BF = BG − GF = (4 + √7) − 4 = √7이므로 FP = BP − BF = 4 − √7. 직각삼각형 EFP에서 tan x = EP / FP = 3 / (4 − √7) = 3(4 + √7) / (16 − 7) = (4 + √7)/3
→ 분모의 √7을 없애려고 (4 + √7)을 분자·분모에 곱합니다(분모의 유리화). 분모는 16 − 7 = 9가 되어 약분됩니다.⚠️ 이렇게 틀려요① (4 − √7)/3 ✕ FP/EP로 분자·분모를 뒤집은 값(1/tan x)입니다. ②③④ ✕ BP·PG를 잘못 더하거나 유리화를 틀린 경우입니다. 3/(4 − √7)에서 분모의 유리화를 빼먹으면 답이 보기에 없습니다.
💡 이렇게 푸세요tan x = 높이 ÷ 밑변입니다. 각 x가 어느 직각삼각형의 예각인지 확인하고, 분모에 근호가 있으면 유리화까지 끝내세요.
정리 풀이 한 줄 요약
EG = 4, PG = √7 → BG = 4 + √7 → △GEF 이등변(GF = 4) → BF = √7, FP = 4 − √7 → tan x = 3/(4 − √7) = (4 + √7)/3
EG = 4, PG = √7 → BG = 4 + √7 → △GEF 이등변(GF = 4) → BF = √7, FP = 4 − √7 → tan x = 3/(4 − √7) = (4 + √7)/3
정리 선택지 소거
① (4 − √7)/3 → 분자·분모 뒤바뀜 ✕ · ② (3 + √7)/4 → 계산 오류 ✕ · ③ (2 + √7)/3 → 계산 오류 ✕ · ④ (3 + √7)/3 → 계산 오류 ✕ · ⑤ (4 + √7)/3 → 정답 ○
① (4 − √7)/3 → 분자·분모 뒤바뀜 ✕ · ② (3 + √7)/4 → 계산 오류 ✕ · ③ (2 + √7)/3 → 계산 오류 ✕ · ④ (3 + √7)/3 → 계산 오류 ✕ · ⑤ (4 + √7)/3 → 정답 ○
핵심 개념 — 종이접기와 삼각비
접기의 성질접은 부분은 합동, 대응변·대응각이 같음
엇각평행선에서 엇갈린 위치의 각, 크기 같음
이등변삼각형두 밑각이 같으면 두 변의 길이가 같음
피타고라스 정리직각삼각형에서 (빗변)² = (한 변)² + (다른 변)²
tan x(높이) / (밑변)
분모의 유리화분모의 근호를 없애려고 켤레식을 곱함
합차공식(a + b)(a − b) = a² − b²
수선한 직선에 수직으로 내린 선
#이매동수학학원 #이매중수학 #이매중학교 #이매중3학년수학 #이매중수학내신 #수학내신분석 #중3수학 #삼각비 #종이접기 #분모의유리화 #코코스학원
이매중 수학내신 기출문항 완전분석 시리즈코코스학원 →
이전 글
...
다음 글
...