이매동 수학학원 이매중 3학년 수학 내신분석 11번 - 코코스학원 | 분당 이매동 초중고(국영수과) 입시전문

11번 · 사각형의 넓이 (객관식, 4점)

이매중 3학년 수학내신 11번 — 정답은 ③, 대각선과 끼인각 60°면 공식 한 줄입니다

이매중학교 3학년 수학내신 · 두 대각선의 교점이 주어진 사각형의 넓이 (삼각비의 활용)

📖 그림 대조 결과 — 대각선 AC = 32, BD = 28, 끼인각 60°입니다. 사각형의 넓이는 ½ × 32 × 28 × sin60° = 224√3이므로 정답은 ③ 224√3입니다.

정답과 근거 — 이렇게 풀면 됩니다

STEP 1먼저 그림의 숫자부터 정리

AP = 8PC = 24BP = 10PD = 18∠DPC = 60°

→ 대각선 두 개가 점 P에서 만나는 구조입니다. 두 대각선의 길이와 끼인각을 구하는 문제로 바꿔 생각하세요.

STEP 2대각선 길이 구하기AC = 32, BD = 28

점 P가 두 대각선의 교점이므로 AC = AP + PC = 8 + 24 = 32, BD = BP + PD = 10 + 18 = 28입니다.

→ 그림의 숫자는 대각선을 나눈 조각의 길이입니다. 합해서 대각선 전체 길이를 만드세요.

STEP 3끼인각 확인∠DPC = 60° → sin60° = √3/2

두 대각선이 만드는 각은 60°와 그 맞꼭지각 60°, 나머지 두 각은 120°입니다. sin120° = sin60° = √3/2이므로 어느 각을 써도 값은 같습니다.

→ 끼인각이 60°든 120°든 sin 값이 같아서 넓이 공식에 그대로 쓸 수 있습니다.

STEP 4정답③ 224√3

📖 그림 근거

사각형 ABCD의 넓이 = ½ × AC × BD × sin60° = ½ × 32 × 28 × (√3/2) = 224√3

→ ½ × 32 × 28 = 448이고, 448 × √3/2 = 224√3입니다.

⚠️ 이렇게 틀려요① 224 ✕ sin 값을 1/2로 쓴 경우(sin30°) ② 224√2 ✕ sin45°=√2/2로 쓴 경우 ④ 448√2·⑤ 448√3 ✕ 공식의 ½을 빠뜨린 경우입니다.

💡 이렇게 푸세요"두 대각선의 길이와 끼인각"이 주어지면 ½ × (대각선) × (대각선) × sin(끼인각)입니다. ½과 sin 값을 반드시 챙기세요.

확인 네 삼각형으로 나눠 검산
△APB = ½·8·10·sin60° = 20√3 · △BPC = ½·10·24·sin120° = 60√3 · △CPD = ½·24·18·sin60° = 108√3 · △DPA = ½·18·8·sin120° = 36√3
합계 = 20√3 + 60√3 + 108√3 + 36√3 = 224√3

정리 선택지 소거
① 224 → sin30° ✕ · ② 224√2 → sin45° ✕ · ③ 224√3 → 정답 ○ · ④ 448√2 → ½ 누락 ✕ · ⑤ 448√3 → ½ 누락 ✕

핵심 개념 — 삼각비와 사각형의 넓이

사각형의 넓이½ × (대각선) × (대각선) × sin(끼인각)

삼각형의 넓이½ × (두 변) × sin(끼인각)

대각선의 교점대각선을 두 조각으로 나누는 점

끼인각두 대각선이 이루는 각 (60° 또는 120°)

sin60°√3/2

sin120°√3/2 (sin60°와 같음)

맞꼭지각두 직선이 만날 때 마주 보는 각, 크기 같음

검산네 삼각형 넓이를 더해 확인

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